d:x−1/2=y/1=z/−2 và A(2;1;0),B(-2;3;2). Viết pt mặt cầu qua A,B có tâm thuộc d.

Question

Cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2} =\frac{y}{1} =\frac{z}{-2}\) và hai điểm \(A\left(2\, ;\, 1\, ;\, 0\right), B\left(-2\, ;\, 3\, ;\, 2\right).\) Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc d.
 

Answer 1

Phương trình tham số của \(d:\left\{\begin{array}{l} {x=1+2t} \\ {y=t} \\ {z=-2t} \end{array}\right. \)

Gọi I là tâm của mặt cầu, do Ithuộc d nên\( I\left(1+2t\, ;\, t\, ;\, -2t\right)\)

Ta có: \(IA^{2} =\left(1-2t\right)^{2} +\left(1-t\right)^{2} +4t^{2} =9t^{2} -6t+2\)
\(IB^{2} =\left(-3-2t\right)^{2} +\left(3-t\right)^{2} +\left(2+2t\right)^{2} =9t^{2} +14t+22 \)
Do mặt cầu đi qua hai điểm A, Bnên IA=IB
\(\Rightarrow IA^{2} =IB^{2}   \Leftrightarrow t=-1 \)
\(\Rightarrow I\left(-1;-1;2\right); R=\sqrt{17}  \)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là 
\(\left(x+1\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} +\left(z-2\right)^{2} =17. \)