A(1;2;−1),B(0;2;1),C(1;1;0). Viết pt mặt cầu đi qua A,B,C và có R min.

Question

Cho các điểm \(A\left(1\, ;\, 2\, ;\, -1\right), B\left(0\, ;\, 2\, ;\, 1\right), C\left(1\, ;\, 1\, ;\, 0\right)\). Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có bán kính bé nhất. 
 

Answer 1

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(-1\, ;\, 0\, ;\, 2\right), \overrightarrow{AC}=\left(0\, ;\, -1\, ;\, 1\right)\) không cùng phương suy ra ba điểm\(A,\, \, B,\, \, C \)không thẳng hàng.

Gọi \(C\left(I\, ;\, r\right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, mặt cầu\( S\left(J\, ;\, R\right)\) đi qua ba điểm \(A,\, \, B,\, \, C\Rightarrow \, I\) là hình chiếu của J trên mp (ABC) và \(R\, =\, \sqrt{JI^{2} \, +\, r^{2} } . \)

Vì I cố định, r không đổi suy ra R đạt bé nhất khi \(J\, \equiv \, I\). Khi đó mặt cầu (S) đi qua ba điểm A,B,C có bán kính bé nhất có tâm I và bán kính r. 

Giả sử \(I\left(a\, ;\, b\, ;\, c\right)\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{AI}.\left[\overrightarrow{AB}\, ,\, \overrightarrow{AC}\right]=0} \\ {AI=BI} \\ {AI=CI} \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left(a-1\right).2+\left(b-2\right).1+\left(c+1\right).1=0} \\ {\left(a-1\right)^{2} +\left(b-2\right)^{2} +\left(c+1\right)^{2} =a^{2} +\left(b-2\right)^{2} +\left(c-1\right)^{2} } \\ {\left(a-1\right)^{2} +\left(b-2\right)^{2} +\left(c+1\right)^{2} =\left(a-1\right)^{2} +\left(b-1\right)^{2} +c^{2} } \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=\frac{1}{2} } \\ {b=2} \\ {c=0} \end{array}\right.  \Rightarrow \, I\left(\frac{1}{2} \, ;\, 2;\, 0\right). \)

Bán kính: \(r=IA=\frac{\sqrt{5} }{2}  .\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A,B,C có bán kính bé nhất là:
\(\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} +z^{2} =\frac{5}{4} . \)