Question

Cho tam giác ABC. Phía ngoài tam giác đó vẽ các tam giác cân tại A là ABD và ACE.

a, CM: CD=BE và CD vuông góc với BE.

b, Kẻ đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC tại H.

CM: Đường thẳng AH đi qua trung điểm của DE.

 

c, Lấy điểm K nằm trong tam giác ABD sao cho ABK bằng 30 độ, BA=BK. CM: AK=KD.

Comments

Chào bạn!
#Bạn vui lòng chỉnh chuyên mục Toán Tiểu Học thành Toán lớp 7 để mọi người dễ phân biệt bạn nhé.

Answer 1

a) ΔABD,ΔACE⊥A⇒ˆDAB=ˆEAC=90oΔABD,ΔACE⊥A⇒DAB^=EAC^=90o

ˆDAC=ˆDAB+ˆBACDAC^=DAB^+BAC^

ˆBAE=ˆEAC+ˆBACBAE^=EAC^+BAC^

⇒ˆDAC=ˆBAE⇒DAC^=BAE^ (cùng bằng 90o+ˆBAC90o+BAC^)

Xét ΔABEΔABE và ΔADCΔADC có:

AB=ADAB=AD (do ΔABDΔABD vuông cân đỉnh A)

ˆBAE=ˆDACBAE^=DAC^ (chứng minh trên)

AE=ACAE=AC (do ΔACEΔACE cân đỉnh A)

⇒ΔABE=ΔADC⇒ΔABE=ΔADC (c.g.c)

ˆB1=ˆD1B1^=D1^ (hai góc tương ứng) (1)

⇒BE=DC⇒BE=DC (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (đpcm)

+) Gọi DCDC cắt BEBE tại II

và gọi ABAB cắt DCDC tại JJ

Ta có: ˆDIE=ˆIBJ+ˆIJBDIE^=IBJ^+IJB^ (góc ngoài ΔIJBΔIJB)

=ˆB1+ˆJ2=B1^+J2^ sử dụng (1) và ˆJ2=ˆJ1J2^=J1^ (đối đỉnh)

=ˆD1+ˆJ1=D1^+J1^

=90o=90o (do ΔADJ⊥AΔADJ⊥A)

⇒ˆDIE=90o⇒DI⊥IE⇒DIE^=90o⇒DI⊥IE hay DC⊥BEDC⊥BE (đpcm)

b) Kẻ DM⊥AHDM⊥AH và EN⊥AHEN⊥AH và gọi AHAH cắt DEDE tại OO

Xét hai tam giác vuông ΔMADΔMAD và ΔHBAΔHBA có:

AD=ABAD=AB (do ΔABDΔABD cân đỉnh A)

ˆMAD=ˆHBAMAD^=HBA^ (cùng phụ với ˆHABHAB^)

⇒ΔMAD=ΔHBA⇒ΔMAD=ΔHBA (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒DM=AH⇒DM=AH (hai cạnh tương ứng) (2)

Chứng minh tương tự ΔNAE=ΔHCAΔNAE=ΔHCA (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒EN=AH⇒EN=AH (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (2) và (3) suy ra DM=ENDM=EN

Xét hai tam giác vuông ΔMODΔMOD và NOENOE có:

DM=ENDM=EN (chứng minh trên)

ˆMOD=ˆNOEMOD^=NOE^ (đối đỉnh)

⇒ΔMOD=ΔNOE⇒ΔMOD=ΔNOE (cạnh góc vuông - góc nhọn)

⇒DO=EO⇒O⇒DO=EO⇒O là trung điểm của DE

AH cắt DE tại O (cách dựng)

Vậy AHAH đi qua trung điểm của DE (đpcm).