Tính tích phân sau: ∫sin^3 x/3^x+3^(−x)dx

Question

Tính tích phân sau:

\(\int _{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} }\frac{\sin ^{3} x}{3^{x} +3^{-x} } {\rm d}x .\)

Answer 1

Đặt \(f\left(x\right)=\frac{sin^{3} x}{3^{x} +3^{-x} } \)

 Vì \(f\left(-x\right)=\frac{sin^{3} (-x)}{3^{-x} +3^{x} } =-\frac{sin^{3} x}{3^{x} +3^{-x} } =-f(x) với \forall x\in \left[-\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right]\)

* Tính chất: 

 Nếu f\(\left(-x\right)=-f\left(x\right)\) đúng với mọi \(x\in \left[-a;a\right]\)

thì \(I=\int _{-a}^{a}f(x)dx =0.\) 

 * Chứng minh: 

 Đặt \(t=-x\Rightarrow dx=-dt\)
\(I=-\int _{a}^{-a}f(-t)dt =-\int _{-a}^{a}f(t)dt =-I\Rightarrow I=0 \)

 nên áp dụng tính chất trên suy ra

\(\int _{-\frac{\pi }{2} }^{\frac{\pi }{2} }\frac{sin^{3} x}{3^{x} +3^{-x} } dx =0\)