Question

Cho phương trình \(z^{3} +az^{2} +bz+c=0.\) Nếu \(z=1+i\) và \(z=2 \) là hai nghiệm của phương trình đã cho thì a,b,c (a,b,c là các số thực) bằng

\(A. a=-4,{\rm \; }b=6,{\rm \; }c=-4. \)

\(B. a=2,{\rm \; }b=1,{\rm \; }c=4. \)

\(C. a=4,{\rm \; }b=5,{\rm \; }c=1.  \)

\(D. a=0,{\rm \; }b=-1,{\rm \; }c=2.\)

Answer 1

Ta chọn câu A

Do z=1+i là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có 
\(\left(1+i\right)^{3} +a\left(1+i\right)^{2} +b\left(1+i\right)+c=0 \)
\(\Leftrightarrow -2+2i+2ai+b+bi+c=0\)
\(\Leftrightarrow b+c-2+\left(2a+b+2\right)i=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {b+c-2=0} \\ {2a+b+2=0} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {b+c=2} \\ {2a+b=-2} \end{array}\right.  (I)\)

Do z=2 là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có 

\(2^{3} +a.2^{2} +b.2+c=0\Leftrightarrow 4a+2b+c=-8 (II)\)

Từ (I) và (II) ta được 
\(\left\{\begin{array}{l} {b+c=2} \\ {2a+b=-2} \\ {4a+2b+c=-8} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=-4} \\ {b=6} \\ {c=-4} \end{array}\right. .\)