Cho số phức z thỏa mãn (1+2i)|z|=√10/z -2+i. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Question

Cho số phức z thỏa mãn \(\left(1+2i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10} }{z} -2+i.\) Khẳng định nào dưới đây là đúng?

\(A. \frac{3}{2} <\left|z\right|<2.  \)

\(B. \left|z\right|>2.   \)

\(C. \left|z\right|<\frac{1}{2} .  \)

\(D. \frac{1}{2} <\left|z\right|<\frac{3}{2} .\)

Answer 1

Chọn D

Ta có \(z^{-1} =\frac{1}{\left|z\right|^{2} } \bar{z}.       \)

Theo giả thiết: \(\left(1+2i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10} }{z} -2+i\)

\(\Leftrightarrow \left(\left|z\right|+2\right)+\left(2\left|z\right|-1\right)i=\left(\frac{\sqrt{10} }{\left|z\right|^{2} } \right).\overline{z}\)

Lấy mô đun 2 vế, ta được

\(\left|\left(\left|z\right|+2\right)+\left(2\left|z\right|-1\right)i\right|=\left|\left(\frac{\sqrt{10} }{\left|z\right|^{2} } \right).\overline{z}\right|\)
\(\Rightarrow \left(\left|z\right|+2\right)^{2} +\left(2\left|z\right|-1\right)^{2} =\left(\frac{10}{\left|z\right|^{4} } \right).\left|z\right|^{2} =\frac{10}{\left|z\right|^{2} } {\rm \; \; (*)} \)
Đặt \(\left|z\right|=a>0.\)
\((*)\Rightarrow \left(a+2\right)^{2} +\left(2a-1\right)^{2} =\left(\frac{10}{a^{2} } \right)\Leftrightarrow a^{4} +a^{2} -2=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {a^{2} =1} \\ {a^{2} =-2} \end{array}\right. \Rightarrow a=1\Rightarrow \left|z\right|=1. \)