Tìm nguyên hàm của hàm số sau:∫x31−x2−−−−−√dx

Question

\(\int x^{3} \sqrt{1-x^{2} } {\rm d}x\)

Answer 1

Đặt \(t=\sqrt{1-x^{2} } \Rightarrow t^{2} =1-x^{2} \Rightarrow 2{\rm d}x=-2x{\rm d}x\Rightarrow {\rm d}t=-x{\rm d}x\), do đó: 
\(\int x^{3} \sqrt{1-x^{2} } dx=\int x^{2} \sqrt{1-x^{2} } x{\rm d}x=-\int \left(1-t^{2} \right).t.t{\rm d}t\)

\(=-\int \left(t^{2} -t^{4} \right){\rm d}t =-\frac{1}{3} t^{3} +\frac{1}{5} t^{5} +C\)
\(=-\frac{1}{3} \sqrt{\left(1-x^{2} \right)^{3} } +\frac{1}{5} \sqrt{\left(1-x^{2} \right)^{5} } +C.\)