M(0;2;0) và 2 đt Δ1, Δ2. ​(P) qua M // Ox, (P) cắt 2 đt Δ1,Δ2 lần lượt tại A,B thoả mãn AB=1. (P) đi qua điểm nào?

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng
\(\Delta _{1} :\left\{\begin{array}{l} {x=1+2t} \\ {y=2-2t} \\ {z=-1+t,} \end{array}\right. \, \, \, \, (t\in {\rm R});\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \Delta _{2} :\left\{\begin{array}{l} {x=3+2s} \\ {y=-1-2s} \\ {z=s,} \end{array}\right. \, \, \, \, (s\in {\rm R}).\)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M song song với trục Ox, sao cho (P) cắt hai đường thẳng \(\Delta _{1} \, ,\, \, \Delta _{2} \)

lần lượt tại A,B thoả mãn AB=1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào sau đây?

A. \(F\left(1;-2;0\right).\)

B. \(E\left(1;2;-1\right).\)

C. \(K\left(-1;3;0\right).\)

D. \(G\left(3;1;-4\right).\)
 

Answer 1

Chọn D

Ta có: \(A\in \Delta _{1} \Rightarrow A(1+2t;2-2t;-1+t);\, \, \, B\in \Delta _{2} \Rightarrow B(3+2s;-1-2s;s).\)

Suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(2+2(s-t);\, -3-2(s-t);\, \, 1+(s-t)\right)\)
\(AB^{2} =1\Leftrightarrow 9(s-t)^{2} +22(s-t)+14=1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {s-t=-1} \\ {s-t=-\frac{13}{9} .} \end{array}\right. \)
+ Với \(s-t=-1\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(0;-1;0)\Rightarrow  \left(P\right) \) có một \(vtpt \overrightarrow{n_{1} }=\left[\overrightarrow{AB};\, \, \overrightarrow{i}\right]=(0;0;\, 1), \)suy ra \((P)\_ :z=0\) (loại do \(\left(P\right)\) chứa trục O\x).

+ Với \(s-t=-\frac{13}{9} \Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(\frac{-8}{9} ;\frac{-1}{9} ;\frac{-4}{9} \right),\) suy ra (P) có một vtpt \(\overrightarrow{n_{2} }=\left[\overrightarrow{AB};\, \, \overrightarrow{i}\right]=(0;\frac{-4}{9} ;\, \, \frac{1}{9} ),\)

suy ra (P):4y-z-8=0 (thỏa mãn bài toán).

Kiểm tra các đáp án ta chọn D