​Có bao nhiêu số nguyên m(m≥2) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn (mlnx+4)lnm+4=x? ​

Question

Có bao nhiêu số nguyên m\(\left(m\ge 2\right)\) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn \(\left(m^{\ln x} +4\right)^{\ln m} +4=x?\)

A. 8

B. 9

C. 1

D. Vô số
 

Answer 1

Chọn C

ĐK: x>0

Đặt \(y=m^{\ln x} +4>0\) thế vào phương trình ta có \(y^{\ln m} +4=x\Leftrightarrow x=4+m^{\ln y} vì m^{\ln y} =y^{\ln m} \)

Khi đó ta có hệ phương trình:\( \left\{\begin{array}{l} {y=m^{\ln x} +4\quad \left(1\right)} \\ {x=m^{\ln y} +4\quad \left(2\right)} \end{array}\right. \)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=m^{t} +4\Rightarrow f'\left(t\right)=\ln m.m^{t} >0 (Do m\ge 2 )\). Nên hàm số f(x) đồng biến trên R

Khi đó: x=y

Từ :\( x=m^{\ln x} +4\Leftrightarrow x^{\ln m} =x-4\Leftrightarrow \ln \left(x^{\ln m} \right)=\ln \left(x-4\right)\Leftrightarrow \ln m.\ln x=\ln \left(x-4\right)\Leftrightarrow \ln m=\frac{\ln \left(x-4\right)}{\ln x} \)

 Do x>0 nên \(x-4<x\Rightarrow \ln \left(x-4\right)<\ln x\Rightarrow \frac{\ln \left(x-4\right)}{\ln x} <1\)

Nên \(\ln m<1\Leftrightarrow m<e hay m\in \left\{2\right\}\)