Cho các số thực a,b,c>1 và các số thực dương thay đổi x,y,z thỏa mãn ax=by=cz=abc...

Question

Cho các số thực \(a,\, \, b\, ,\, c>1\) và các số thực dương thay đổi \(x\, ,y\, ,\, z\) thỏa mãn \(a^{x} =b^{y} =c^{z} =\sqrt{abc}\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x} +\frac{16}{y} -z^{2} .  \)

A. 24.
B. 20.
C. \(20-\frac{3}{\sqrt[{3}]{4} }  \).
D. \(24-\frac{3}{\sqrt[{3}]{4} }  .\)

Answer 1

Chọn B

Ta có \(\left(\sqrt{abc} \right)^{P} =\left(\sqrt{abc} \right)^{\frac{16}{x} +\frac{16}{y} -z^{2} } =\left(\sqrt{abc} \right)^{\frac{16}{x} } .\left(\sqrt{abc} \right)^{\frac{16}{y} } .\left(\sqrt{abc} \right)^{-z^{2} }   \). 
\(=\left(a^{x} \right)^{\frac{16}{x} } .\left(b^{y} \right)^{\frac{16}{y} } .\left(c^{z} \right)^{-z^{2} } =a^{16} .b^{16} .c^{-z^{3} } \)
\(\Leftrightarrow \left(\sqrt{abc} \right)^{P} =\left(a.b.c\right)^{16} .c^{-z^{3} -16} =\left(\sqrt{abc} \right)^{32} .c^{-z^{3} -16} \) 
\(=\left(c^{z} \right)^{32} .c^{-z^{3} -16} =c^{-z^{3} +32z-16} \)
\(\Leftrightarrow \left(c^{z} \right)^{P} =c^{-z^{3} +32z-16} \) . 
Với c>1 suy ra \(P=\frac{-z^{3} +32z-16}{z} .\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{-z^{3} +32z-16}{z} \) với z>0.

Ta có \(P'=\frac{-2z^{3} +16}{z^{2} } ,\, P'=0\Leftrightarrow -2z^{2} +16=0\Leftrightarrow z=2\).

Bảng biến thiên    

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của P là 20 khi z=2.