Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=AD=22–√vàAA′=43–√ . Góc giữa CA' và (ABCD) bằng ​

Question

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=AD=2\sqrt{2} và AA'=4\sqrt{3}\)  (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) bằng

\(A. 60^{0}  B. 90^{0} \)
\(C. 30^{0} D. 45^{0} \)
 

Answer 1

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên \(AA'\bot (ABCD)\). Do đó góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng \(\left(ABCD\right) là \widehat{ACA'}\)

Vì \(AB=AD=2\sqrt{2}  \)nên ABCD là hình vuông có đường chéo \(AC=AB\sqrt{2} =2\sqrt{2} .\sqrt{2} =4\)

Tam giác ACA' vuông tại A và có \(AA'=4\sqrt{3} , AC=4\) nên \(\tan \widehat{ACA'}=\frac{AA'}{AC} =\frac{4\sqrt{3} }{4} =\sqrt{3} \)

Suy ra \(\widehat{ACA'}=60^{0}\) . Vậy góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) bằng \(60^{0} \)