Chứng minh rằng các giao điểm các cặp đường thẳng AB và MN, BC và NP,AC và MP thẳng hàng.

Question

Cho một tam giác ABC với một điểm I. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AI và BC, BI và CA, CI và AB. Chứng minh rằng các giao điểm các cặp đường thẳng AB và MN, BC và NP,AC và MP thẳng hàng.
 

Answer 1

Gọi giao điểm các cặp đường thẳng AB và MN, BC và NP,AC và MP lần lượt là\( \, J\, ,\, K,\, L \)áp dụng định lý Mê -nê-la-uýt cho\( \Delta ABC có J\in AB, M\in BC, N\in AC\) và ba điểm \(\, \, J,\, M,\, N\) thẳng hàng. ta được \(\frac{AJ}{BJ} .\frac{BM}{CM} .\frac{CN}{AN} =1\, \, \, \, \, \eqref{GrindEQ__1_} \)

Tương tự áp dụng cho

\(\Delta ABC\) có ba điểm \(N,\, K,\, P\) thẳng hàng ta được \(\frac{BK}{CK} .\frac{CN}{AN} .\frac{AP}{BP} =1\, \, \, \, \, \, \, \, \, \eqref{GrindEQ__2_} \)

\(\Delta ABC\) có ba điểm \(M,\, P,\, L\) thẳng hàng ta được \(\frac{CL}{AL} .\frac{AP}{BP} .\frac{BM}{CM} =1 \)

Áp dụng định lý Cê- va cho \(\Delta ABC có P\in AB;\, \, N\in AC;\, \, M\in BC và AM,BN,\, CP\) đồng quy tại I.

ta được \(\frac{BM}{CM} .\frac{AP}{BP} .\frac{CN}{AN} =1\, \, \, \, \eqref{GrindEQ__3_} \)

Nhân vế với vế ta được

\(\frac{AJ}{BJ} .\frac{BK}{CK} .\frac{CL}{AL} .\left(\frac{BM}{CM} .\frac{AP}{BP} .\frac{CN}{AN} \right)^{2} =1 Mà \frac{BM}{CM} .\frac{AP}{BP} .\frac{CN}{AN} =1\, \, \, \, \)( CM trên)

Do đó \(\frac{AJ}{BJ} .\frac{BK}{CK} .\frac{CL}{AL} .=1\)

\(Xét \Delta ABC có J\in AB,\, K\in BC,\, \, L\in AC và \frac{AJ}{BJ} .\frac{BK}{CK} .\frac{CL}{AL} =1 \)

Theo định lý Mê-nê-ta-nuýt đảo thì 3 điểm \(\, J\, \, ,\, K,\, L\) thẳng hàng ( ĐPCM).