Cho S.ABCD có ABCD là hình thang. M, N là trđ SA, BC. Tìm thiết diện của chóp bị cắt bởi mp qua MN và // AB.

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang \(\left(AB{\rm //}CD,\, AB>CD\right).\) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng \(\left(\alpha \right) \)qua MN và song song với AB. Thiết diện là hình gì?
 

Answer 1

Ta có:
\(\left. \begin{array}{l} {AB{\rm //}\left(\alpha \right)} \\ {AB\subset \left(ABCD\right)} \\ {N\in \left(ABCD\right)\cap \left(\alpha \right)=d} \end{array}\right\}\Rightarrow d{\rm //}AB\). 
Suy ra d đi qua N cắt AD tại trung điểm Q. Vậy \(\left(\alpha \right)\cap \left(ABCD\right)=NQ\qquad \left(1\right)\)

Lại có: 
\(\left. \begin{array}{l} {AB{\rm //}\left(\alpha \right)} \\ {AB\subset \left(SAB\right)} \\ {M\in \left(SAB\right)\cap \left(\alpha \right)=\Delta } \end{array}\right\}\Rightarrow \Delta {\rm //}AB. \)
Suy ra \(\Delta\)  đi qua P cắt SB tại trung điểm P. Vậy \(\left(\alpha \right)\cap \left(SAB\right)=MP\qquad \left(2\right)\)

Khi đó ta có: \(\left(\alpha \right)\cap \left(SAD\right)=MQ\qquad \left(3\right) \)

và \(\left(\alpha \right)\cap \left(SBC\right)=PN\qquad \left(4\right)\)

 Từ \(\left(1\right),\, \left(2\right),\, \left(3\right),\, \left(4\right)\) ta có thiết diện là tứ giác MPNQ.

 Ta có:

\( \left. \begin{array}{l} {MP{\rm //}AB} \\ {NQ{\rm //}AB} \end{array}\right\}\Rightarrow MP{\rm //}NQ\Rightarrow\) MPNQ là hình thang.