Biết rằng BADˆ=60 độ,A′ABˆ=A′ADˆ=120 độ. Tính thể tích của khối lăng trụ ​ABCD.A′B′C′D′.

Question

Cho lăng trụ tứ giác \(ABCD.A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}\)  có tất cả các cạnh bằng a. Biết rằng \(\widehat{BAD}=60^{0} , \widehat{A^{'} AB}=\widehat{A^{'} AD}=120^{0}\) . Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABCD.A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} . \)

\(A. \frac{a^{3} \sqrt{2} }{4} . B. \frac{a^{3} \sqrt{2} }{3} . \)

\(C. \frac{a^{3} \sqrt{2} }{2} . D. \frac{a^{3} \sqrt{2} }{12} . \)

Answer 1

Chọn C

Vì \(\widehat{BAD}=60^{0} \) nên tam giác BAD đều\( \Rightarrow BD=a.\)

\(Vì \widehat{A^{'} AB}=\widehat{A^{'} AD}=120^{0}  nên các tam giácAA^{'} B^{'} ,AA^{'} D^{'}  đều \Rightarrow AB^{'} =AD^{'} =a\Rightarrow DC^{'} =BC^{'} =a \)

Do đó C^{'} BCD là tứ diện đều cạnh a.

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, H là trọng tâm tam giác BCD.

Ta có: \(CO=\frac{\sqrt{3} a}{2} \Rightarrow CH=\frac{2}{3} CO=\frac{\sqrt{3} a}{3} \Rightarrow C^{'} H=\sqrt{C^{'} C^{2} -CH^{2} } =\sqrt{a^{2} -\left(\frac{\sqrt{3} a}{3} \right)^{2} } =\frac{\sqrt{6} a}{3} , S_{\Delta BCD} =\frac{\sqrt{3} a^{2} }{4} .\)
\(\[\Rightarrow V_{C^{'} BCD} =\frac{1}{3} .\frac{\sqrt{3} a^{2} }{4} .\frac{\sqrt{6} a}{3} =\frac{\sqrt{2} a^{3} }{12}  \Rightarrow V_{ABCD.A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} } =6.V_{C^{'} BCD} =6.\frac{\sqrt{2} a^{3} }{12} =\frac{\sqrt{2} a^{3} }{2} .\] \)