Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Tính côsin MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a33√4. ​

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD=2AB=2BC=2CD=2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Tính côsin góc giữa MN và (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\frac{a^{3} \sqrt{3} }{4} .\)

\(A. \frac{3\sqrt{5} }{10} . B. \frac{\sqrt{5} }{10} .\)

\(C. \frac{3\sqrt{310} }{20} . D.\frac{\sqrt{310} }{20} . \)

Answer 1

Chọn D

Trong hình thang cân ABCD kẻ đường cao \(BH\Rightarrow AH=\frac{a}{2} ,BH=\frac{a\sqrt{3} }{2} .\)

Từ giả thiết ta suy ra SA vuông góc với đáy nên SA là đường cao của hình chóp.

Ta có: 
\(\[\begin{array}{l} {S_{ABCD} =\frac{AD+BC}{2} BH=\frac{3a}{2} .\frac{a\sqrt{3} }{2} =\frac{3a^{2} \sqrt{3} }{4} } \\ {V_{S.ABCD} =\frac{1}{3} .S_{ABCD} .SA=\frac{1}{3} .\frac{3a^{2} \sqrt{3} }{4} .SA=\frac{a^{3} \sqrt{3} }{4} \Rightarrow SA=a} \end{array}\] \)
Chọn hệ trục tọa độ Hxyznhư hình vẽ \((H\equiv O(0;0;0),Hz//SA)\)

Ta có\( A(0;-\frac{a}{2} ;0)\Rightarrow B(\frac{a\sqrt{3} }{2} ;0;0),C(\frac{a\sqrt{3} }{2} ;a;0),D(0;\frac{3a}{2} ;0),S(0;-\frac{a}{2} ;a)\)
\(\[\Rightarrow M(\frac{a\sqrt{3} }{4} ;-\frac{a}{4} ;\frac{a}{2} ),N(\frac{a\sqrt{3} }{4} ;\frac{5a}{4} ;0)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(0;\frac{3a}{2} ;-\frac{a}{2} )\] \)
\(\[\overrightarrow{AC}(\frac{a\sqrt{3} }{2} ;\frac{3a}{2} ;0),\overrightarrow{CD}(-\frac{a\sqrt{3} }{2} ;\frac{a}{2} ;0)\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}=-\frac{3a^{2} }{4} +\frac{3a^{2} }{4} =0\] \)
\(\Rightarrow CD\bot AC mà SA\bot CD \Rightarrow CD\bot (SAC), với \overrightarrow{CD}(-\frac{a\sqrt{3} }{2} ;\frac{a}{2} ;0)\)

Chọn\( \overrightarrow{n}(-\frac{\sqrt{3} }{2} ;\frac{1}{2} ;0) là 1\) vecto pháp tuyến của (SAC)

Và\( \overrightarrow{u}(0;\frac{3}{2} ;-\frac{1}{2} )\) là vecto chỉ phương của đường thẳng MN.

Gọi \(\alpha  \)là góc giữa MN và (SAC). 

Ta có \(\sin \alpha =\frac{\frac{3}{4} }{\sqrt{\frac{3}{4} +\frac{1}{4} } .\sqrt{\frac{9}{4} +\frac{1}{4} } } =\frac{3\sqrt{10} }{20} \Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-(\frac{3\sqrt{10} }{20} )^{2} } =\frac{\sqrt{310} }{20} \)