Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60 độ.Thể tích khối chóp S.ABC là

Question

Cho Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Gọi I là trung điểm của AC. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy ABC là điểm H thỏa \(\overrightarrow{BI}=3.\overrightarrow{IH}. \)Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60 độ.Thể tích khối chóp S.ABC là

\(A. V=\frac{a^{3} }{3} . B. V=\frac{a^{3} }{9} .\)

\(C. V=\frac{a^{3} }{18} . D. V=\frac{a^{3} }{6} .\)
 

Answer 1

Chọn B

Trong mặt phẳng \(\left(SBH\right): từ I kẻ IK\bot SB tại K \)

Ta có: \(\left\{\begin{array}{c} {AC\bot BH} \\ {AC\bot SH} \end{array}\right. \Rightarrow AC\bot \left(SBH\right)\Rightarrow AC\bot SB \)

Và \(\left\{\begin{array}{c} {SB\bot IK} \\ {SB\bot AC} \end{array}\right. \Rightarrow SB\bot \left(AKC\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {AK\bot SB} \\ {CK\bot SB} \end{array}\right. \) 

Ta lại có: \(\cos \widehat{AKC}=\frac{AK^{2} +CK^{2} -AC^{2} }{2AK.CK} <\frac{AB^{2} +CB^{2} -AC^{2} }{2AK.CK} <0\Rightarrow \widehat{AKC} \)là góc tù.

Mà\( \left(\widehat{\left(SAB\right),\left(SBC\right)}\right)=\left(\widehat{AK,CK}\right)=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{AKC}=120{}^\circ .\)

Cách 1.

Trong mặt phẳng \(\left(SBH\right):\) từ H kẻ \(HQ\bot SB tại Q \Rightarrow HQ=\frac{4}{3} IK \)

Mà\( IK=\frac{IC}{\tan 60{}^\circ } =\frac{a\sqrt{2} }{2} .\frac{1}{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{6} a}{6} \Rightarrow HQ=\frac{4}{3} .\frac{\sqrt{6} a}{6} =\frac{2\sqrt{6} a}{9}  \)

Ta lại có:\( \frac{1}{QH^{2} } =\frac{1}{BH^{2} } +\frac{1}{SH^{2} } \Rightarrow SH^{2} =\frac{BH^{2} -QH^{2} }{BH^{2} .QH^{2} } =\frac{4a^{2} }{9} \Rightarrow SH=\frac{2a}{3}  \)

Vậy: \(V_{S.ABC} =\frac{1}{3} .\frac{a^{2} }{2} .\frac{2a}{3} =\frac{a^{3} }{9} .\)

Cách 2.

\(\Delta IKC \)vuông tại I, ta có: \(IK=\frac{IC}{\tan 60{}^\circ } =\frac{a\sqrt{2} }{2} .\frac{1}{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{6} a}{6} \)

\(\Delta KIB \)vuông tại K, ta có: \(BK^{2} =BI^{2} -IK^{2} =\frac{a^{2} }{2} -\frac{a^{2} }{6} =\frac{a^{2} }{3} \Rightarrow BK=\frac{a}{\sqrt{3} }  \)

Ta lại có: \(\tan \widehat{KBI}=\frac{IK}{BK} =\frac{SH}{BH} \Rightarrow SH=\frac{IK.BH}{BK} =\frac{\frac{a\sqrt{6} }{6} .\frac{4}{3} .\frac{a\sqrt{2} }{2} }{\frac{a}{\sqrt{3} } } =\frac{2a}{3}  \)

Vậy: \(V_{S.ABC} =\frac{1}{3} .\frac{a^{2} }{2} .\frac{2a}{3} =\frac{a^{3} }{9} .\)