ABCD.A'B'C'D'với A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1).M,N trđ AB,CD. Viết ptmp chứa A'C và tạo với Oxy 1 góc...

Question

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'với \(A\left(0;0;0\right),B\left(1\, ;\, 0\, ;\, \, 0\right),\, D\left(0\, ;1\, ;0\right),A'\left(0\, ;0\, ;1\right).\) Gọi M,Nlần lượt là trung điểm AB,CD.
Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với (Oxy) một góc \(\alpha  \)biết \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{6} } .\)
 

Answer 1

Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm \(C\left(1;1;0\right)\) với véctơ pháp tuyến\( \overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)\)

\(\Rightarrow  \left(P\right)\) có phương trình \(a\left(x-1\right)+b\left(y-1\right)+cz=0. \)

Điểm \(A'\in \left(P\right)\Leftrightarrow -a-b+c=0\Leftrightarrow c=a+b.\)

Mặt phẳng Oxy nhận \(\overrightarrow{k}\left(0\, ;\, 0\, ;\, 1\right)\) làm 1 VTPT.

Gọi \(\alpha \) là góc giữa (P) và (Oxy) thì \(\cos \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|} =\frac{\left|c\right|}{\sqrt{a^{2} +b^{2} +c^{2} } } =\frac{\left|a+b\right|}{\sqrt{2\left(a^{2} +ab+b^{2} \right)} } .\)

Ta có \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{6} } \Leftrightarrow \frac{\left|a+b\right|}{\sqrt{2\left(a^{2} +ab+b^{2} \right)} } =\frac{1}{\sqrt{6} }\)

\(\Leftrightarrow 6\left(a+b\right)^{2} =2\left(a^{2} +ab+b^{2} \right) \Leftrightarrow 2a^{2} +5ab+2b^{2} =0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {2a+b=0} \\ {a+2b=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {a=1,b=-2,c=-1} \\ {a=2,b=-1,c=1} \end{array}\right. \)

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán, phương trình là \(\left[\begin{array}{l} {\left(P_{1} \right):x-2y-z+1=0} \\ {\left(P_{2} \right):2x-y+z-1=0} \end{array}\right. .\)