Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1),B(−2;1;3),C(2;−1;1),D(0;3;1). Viết ptmp (P) đi qua A,B sao cho d[C;(P)]=d[D;(P)]

Question

Cho tứ diệnABCD có \(A\left(1;2;1\right),\, B\left(-2;1;3\right),\, C\left(2;-1;1\right),\, D\left(0;3;1\right). \)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A,B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
 

Answer 1

Trường hợp 1: (P) qua A,B và song song với CD.

Véc tơ pháp tuyến của\( \left(P\right):\, \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]. \overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;2\right),\, \overrightarrow{CD}=\left(-2;4;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left(-8;-4;-14\right). \)
Khi đó mặt phẳng (P)  đi qua \(A\left(1;2;1\right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(-8;-4;-14\right)\) có phương trình \(-8\left(x-1\right)-4\left(y-2\right)-14\left(z-1\right)=0\Leftrightarrow 4x+2y+7z-15=0.\)

Trường hợp 2: (P) đi qua A, B và cắt CD suy ra (P) cắt CD tại trung điểm\( I\left(1;1;1\right)\) của CD.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-1;2\right),\, \overrightarrow{AI}=\left(0;-1;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AI}\right]=\left(2;0;3\right).\)

Mặt phẳng (P) qua\( A\left(1;2;1\right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(2;0;3\right) có phương trình 2\left(x-1\right)+3\left(z-1\right)=0\Leftrightarrow 2x+3z-5=0.\)

Vậy \(\left(P\right):\, 2x+3z-5=0. \) hoặc \(\left(P\right):\, 2x+3z-5=0. \)