A(a;0;0),B(0;a;0),C(a;a;0)vàD(0;0;m),(a,m>0).A′,B′là hc vuông góc của O lên AD,BD. ​Tính m theo a để góc A'OB'=45 ​

Question

Cho \(A\left(a\, ;\, 0\, ;\, 0\right),\, B\left(0\, ;a\, ;\, 0\right),\, C\left(a\, ;\, a\, ;0\right) và D\left(0\, ;\, 0\, ;\, m\right),\, \left(a,m>0\right)\, . A',\, B'\) là hình chiếu vuông góc của O lên AD, BD
Tính m theo a để góc \(A'OB'=45^{0} \, .\)

Answer 1

Ta có\( \cos \widehat{A'OB'}=c{\rm os}\left(\overrightarrow{OA'};\, \overrightarrow{OB'}\right)=\frac{\overrightarrow{OA'}.\overrightarrow{OB'}}{OA'.OB'} =\frac{\sqrt{2} }{2}  \begin{array}{l} {\Leftrightarrow \frac{2a^{4} m^{2} }{\left(a^{2} +m^{2} \right)^{2} } =\sqrt{2} \left(\frac{a^{2} m^{4} }{\left(a^{2} +m^{2} \right)^{2} } +\frac{a^{4} m^{2} }{\left(a^{2} +m^{2} \right)^{2} } \right)} \\ {\Leftrightarrow \sqrt{2} a^{2} =m^{2} +a^{2} \Leftrightarrow m^{2} =\left(\sqrt{2} -1\right)a^{2} } \end{array}  \Rightarrow m=a\sqrt{\sqrt{2} -1} . \)