A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), b>0, c>0 và (P):y−z+1=0. Tìm b,c biết (P)⊥(ABC) và d[O;(ABC)]=1/3

Question

Cho \(A\left(1;0;0\right),\, B\left(0;b;0\right)\, ,\, C\left(0;0;c\right)\) ở đó b>0, c>0 và mặt phẳng \(\left(P\right):\, y-z+1=0. \)Tìm b, c biết\( \left(P\right)\bot \left(ABC\right) \)và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng\( \frac{1}{3} . \)

Answer 1

Phương trình mặt phẳng \(\left(ABC\right) là \frac{x}{1} +\frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1\)

Mặt phẳng (ABC) vuông góc với \(\left(P\right):x-z+1=0 suy ra \frac{1}{b} -\frac{1}{c} =0\, \, \eqref{GrindEQ__1_}\)

Ta có\( d\left(O,\left(ABC\right)\right)=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b^{2} } +\frac{1}{c^{2} } } } =\frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{b^{2} } +\frac{1}{c^{2} } =8\, \, \, \eqref{GrindEQ__2_}\)

Từ (1) và (2) và do b,c>0 nên suy ra \(b=c=\frac{1}{2} \)