Tgiác ABC có A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1). Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Question

Cho tam giác ABC có A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1). Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
 

Answer 1

Cách 1: Gọi H(a;b;c), I(x;y;z)lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam  giác ABC.

Ta có\( \overrightarrow{AB}=(-1;0;1),{\kern 1pt} {\kern 1pt} \overrightarrow{{\kern 1pt} AC}=(1;1;1),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm [}\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}{\rm ]}=(-1;2;-1).\)

Phương trình mặt phẳng (ABC)là  x-2y+z-1=0

H(a;b;c) trực tâm của tam giác ABC.\({\kern 1pt} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CH}=0} \\ {\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BH}=0} \\ {H\in (ABC)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-1(a-2)+c-1=0} \\ {a+b+c-1=0} \\ {a-2b+c-1=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-a+c=-1} \\ {a+b+c=1} \\ {a-2b+c=1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=1} \\ {b=0} \\ {c=0} \end{array}\right. .\)

I(x;y;z) tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác\({\kern 1pt} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {IA^{2} =IB^{2} } \\ {IA^{2} =IC^{2} } \\ {I\in (ABC)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {(x-1)^{2} +y^{2} +z^{2} =x^{2} +y^{2} +(z-1)^{2} } \\ {(x-1)^{2} +y^{2} +z^{2} =(x-2)^{2} +(y-1)^{2} +(z-1)^{2} } \\ {x-2y+z-1=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-x+z=0} \\ {2x+2y+2z=5\Leftrightarrow } \\ {x-2y+z=1} \end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} {x=1} \\ {y=\frac{1}{2} } \\ {z=1} \end{array}\right.\)

.Vậy \({\kern 1pt} {\kern 1pt} H(1;0;0),{\kern 1pt} {\kern 1pt} I(1;\frac{1}{2} ;1).\)

Cách 2: Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm tam giác ABC là A(1;0;0)  và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm \({\kern 1pt} I\left(1;\frac{1}{2} ;1\right) \)của BC .