toán nâng cao 7

Question

Cho tam giác ABC có góc A nhọn,vẽ về phía ngoài tam giác ABC 2 tam giác ABM và ACN vuông cân tại A.Gọi E là giao điểm của BN và CM.C/m:a)Tam giác ABN=tam giác AMC và BN vuông góc CM                                                                                                                                         b)ChoBM=√5 cm,CN=√7 cm ,BC=√3 cm.Tính MN

Answer 1

a)
Xét tam giác CAMCAM và NABNAB có:
CAMˆ=NABˆ=900+BACˆCAM^=NAB^=900+BAC^
CA=NACA=NA (gt)
AM=ABAM=AB (gt)
⇒△CAM=△NAB(c.g.c)⇒△CAM=△NAB(c.g.c)
⇒BN=CM⇒BN=CM (đpcm)
b) Gọi I=BN∩CMI=BN∩CM;
Vì △CAM=△NAB⇒CMAˆ=NBAˆ△CAM=△NAB⇒CMA^=NBA^ hay AMKˆ=IBKˆAMK^=IBK^
Hơn nữa: AKMˆ=IKBˆAKM^=IKB^ (đối đỉnh)
Do đó: △AMK∼△IBK(g.g)△AMK∼△IBK(g.g)
⇒BIKˆ=MAKˆ=900⇒BIK^=MAK^=900
⇒BN⊥CM⇒BN⊥CM (đpcm)
c)
Xét tam giác MBCMBC có DD là trung điểm của MBMB, EE là trung điểm của BCBC nên DEDE là đường trung bình của tam giác
⇒DE=12CM⇒DE=12CM
Hoàn toàn TT: EF=12BNEF=12BN
Mà BN=CM(cmt)⇒DE=EFBN=CM(cmt)⇒DE=EF, do đó tam giác DEFDEF cân tại EE