Cho tam giác ABC có Â = 90 độ và đường phân giác BH... Toán hình 7

Question

   Cho ABC có góc A=90 độ và đường phân giác BH (H  AC). Kẻ HM vuông góc với BC (M  BC). Gọi N là giao điểm của AB và MH. Chứng minh:

   a) ABH = MBH

   b) AM // CN

   c) BH vuông góc với CN 

Answer 1

a) Xét ΔABH và ΔMBH, có:

ˆABH=ˆMBHABH^=MBH^

BH cạnh chung

ˆBAH=ˆBMH=900BAH^=BMH^=900

⇒ΔABH=ΔMBH(g.c.g)⇒ΔABH=ΔMBH(g.c.g)

b) Vì ΔABH=ΔMBH⇒AB=MBΔABH=ΔMBH⇒AB=MB (2 cạnh tương ứng) 

Vì AB=MB⇒ΔBAMAB=MB⇒ΔBAM cân tại B (1)

⇒ˆBAM=ˆBMA⇒BAM^=BMA^

Ta có: 

ˆBAM+ˆBMA+ˆNBC=1800BAM^+BMA^+NBC^=1800

ˆBAM=ˆBMA=1800−ˆNBCBAM^=BMA^=1800−NBC^

ˆBAM=1800−ˆNBC2BAM^=1800−NBC^2 (2) 

Từ (1),(2)⇒ˆBNC=ˆBAM(1),(2)⇒BNC^=BAM^

Mà ˆBNCBNC^ và ˆBAMBAM^ nằm ở vị trí đồng vị

⇒AM║CN⇒AM║CN

c) Xét ΔABD và ΔMBD, có:

AB=MBAB=MB

ˆABD=ˆMBDABD^=MBD^

BD cạnh chungBD cạnh chung

⇒ΔABD=ΔMBD(c.g.c)⇒ΔABD=ΔMBD(c.g.c)

⇒AD=MD⇒AD=MD (2 cạnh tương ứng)

⇒ D là trung điểm của đoạn thẳng AM (*)

ˆADB=ˆMDBADB^=MDB^ (2 góc tương ứng)

Mà ˆABD+ˆMBD=1800ABD^+MBD^=1800 (kề bù)

⇒ˆABD=ˆMBD=18002=900⇒ABD^=MBD^=18002=900

Do BD⊥AMBD⊥AM hay BH⊥AMBH⊥AM (**)

Từ (∗),(∗∗)⇒BH(∗),(∗∗)⇒BH là đường trung trực của AM 

Ta có: 

BH⊥AMBH⊥AM (cmt)

AM║CNAM║CN (theo b)

⇒BH⊥CN