Tính tích phân sau: ∫(sin^2013 x + tan^2013 x/4 + cos3x )dx

Question

Tính tích phân sau:

 \(\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sin ^{2013} x+tan^{2013} \frac{x}{4} +cos3x\right){\rm d}x  \)

Answer 1

Đặt \(I_{1} =\int _{-\pi }^{\pi }\left(sin^{2013} x+tan^{2013} \frac{x}{4} \right)dx\) ,

\(I_{2} =\int _{-\pi }^{\pi }cos3xdx , f\left(x\right)=sin^{2013} x+tan^{2013} \frac{x}{4} .\)

 Vì \(f\left(-x\right)=sin^{2013} \left(-x\right)+tan^{2013} \left(\frac{-x}{4} \right)\)

\(=-sin^{2013} \left(x\right)-tan^{2013} \left(\frac{x}{4} \right)=-f\left(x\right) với \forall x\in \left[-\pi ;\pi \right]\)

* Tính chất: 

 Nếu\( f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\) đúng với mọi \(x\in \left[-a;a\right]\)

thì \(I=\int _{-a}^{a}f(x)dx =0\). 

 * Chứng minh: 

 Đặt \(t=-x\Rightarrow dx=-dt \)

\(I=-\int _{a}^{-a}f(-t)d\)

 nên áp dụng tính chất trên suy ra \(I_{1} =0.\)
\(I_{2} =\int _{-\pi }^{\pi }cos3xdx =\frac{1}{3} sin3x\left|\begin{array}{l} {\pi } \\ {-\pi } \end{array}\right. \)

\(=0  \int _{-\pi }^{\pi }\left(sin^{2013} x+tan^{2013} \frac{x}{4} +cos3x\right)dx =I_{1} +I_{2} =0.\)