Tính tích phân sau: ∫(sin6x+cos6x/6^x+1)dx

Question

Tính tích phân sau:

\(\int _{-\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{4} }\frac{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}{6^{x} +1} {\rm d}x\)

Answer 1

\( I=\int _{-\frac{\pi }{4} }^{\frac{\pi }{4} }\frac{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}{6^{x} +1} {\rm d}x \)

 Do \(g\left(x\right)=\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\) thỏa mãn

\(g\left(-x\right)=g\left(x\right)\) với mọi \(x\in \left[-\frac{\pi }{4} ;\frac{\pi }{4} \right]\)

 Áp dụng tích phân đặc biệt \\(\int _{-a}^{a}\frac{g\left(x\right)}{b^{x} +1} {\rm d}x=\int _{0}^{a}g\left(x\right){\rm d}x\)

nếu \(g\left(x\right)\) là hàm thỏa mãn \(g\left(-x\right)=g\left(x\right)\)

với mọi \(x\in \left[-a;a\right],\, a>0\) ta được:

\( I=\int _{0}^{\frac{\pi }{4} }\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right){\rm d}x =\int _{0}^{\frac{\pi }{4} }\left[1-3\sin ^{2} x\cos ^{2} x\right]{\rm d}x \)

\(=\int _{0}^{\frac{\pi }{4} }\left[1-\frac{3}{4} \sin ^{2} 2x\right]{\rm d}x= \int _{0}^{\frac{\pi }{4} }\left[1-\frac{3}{4} .\frac{1-\cos 4x}{2} \right]{\rm d}x\)

\(= \int _{0}^{\frac{\pi }{4} }\left[\frac{5}{8} +\frac{3}{8} \cos 4x\right]{\rm d}x=\left. \left[\frac{5}{8} x+\frac{3}{32} \sin 4x\right]\right|_{0}^{\frac{\pi }{4} } =\frac{5\pi }{32}\)