Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫dx/(x2+3x+2)2

Question

\(\int \frac{{\rm d}x}{\left(x^{2} +3x+2\right)^{2} } \)

Answer 1

\(\int \frac{{\rm d}x}{\left(x^{2} +3x+2\right)^{2} }  =\int \frac{{\rm d}x}{\left(x+1\right)^{2} \left(x+2\right)^{2} }  \)

\(=\int \left(\frac{A}{x+1} +\frac{B}{\left(x+1\right)^{2} } +\frac{C}{x+2} +\frac{D}{\left(x+2\right)^{2} } \right) {\rm d}x\)
Quy đồng và đồng nhất tử số ta được:
\(1=A\left(x+1\right)\left(x+2\right)^{2} +B\left(x+2\right)^{2} +C\left(x+2\right)\left(x+1\right)^{2} +D\left(x+1\right)^{2} \)
Thay lần lượt \(x=-1;\, x=-2;\, x=0;\, x=1 \) vào biểu thức trên ta được
\(\left\{\begin{array}{l} {1=B} \\ {1=D} \\ {1=4A+4B+2C+D} \\ {1=18A+9B+12C+4D} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=-2} \\ {B=1} \\ {C=2} \\ {D=1} \end{array}\right. \)
\(\int \frac{{\rm d}x}{\left(x^{2} +3x+2\right)^{2} }  =\int \left(\frac{-2}{x+1} +\frac{1}{\left(x+1\right)^{2} } +\frac{2}{x+2} +\frac{1}{\left(x+2\right)^{2} } \right) {\rm d}x\)
\( =-2\ln \left|x+1\right|-\frac{1}{x+1} +2\ln \left|x+2\right|-\frac{1}{x+2} +C\)

\(Vậy \int \frac{{\rm d}x}{\left(x^{2} +3x+2\right)^{2} }  =2\ln \left|\frac{x+2}{x+1} \right|-\frac{2x+3}{x^{2} +3x+2} C.\)