Cho hàm số y=f(x)={2sinax+b,x≤0 cosx,x>0 . Biết rằng hàm số có đạo hàm tại x=0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

Question

Cho hàm số  \(y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c} {2\sin ax+b,x\le 0} \\ {\cos x,x>0} \end{array}\right.\) . Biết rằng hàm số có đạo hàm tại x=0. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

\(A. ab=1. \)

\(B. ab=-1. \)

\(C.ab=0.  \)

\(D. ab=-2.\)

Answer 1

Chọn C

Ta có 
\(f(0)=b \). 
\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} (2\sin ax+b)=b. \)
\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} (\cos x)=1.\) 
Để hàm số có đạo hàm tại x=0 thì

hàm số phải liên tục tại x=0 nên

\(f\left(0\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} f\left(x\right). \)

Suy ra b=1.

Khi đó \(y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c} {2\sin ax+1,x\le 0} \\ {\cos x,x>0} \end{array}\right. .\)

Ta có:\( {\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \frac{2\sin ax}{x} =2a.\)
\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \frac{\cos x-1}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \frac{-2\sin ^{2} \frac{x}{2} }{x} \)

\(={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left(-\sin \frac{x}{2} .\frac{\sin \frac{x}{2} }{\frac{x}{2} } \right)=0. \)
Hàm số có đạo hàm tại x=0 khi

\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x} ={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x} \Leftrightarrow a=0.\)

Hàm số có đạo hàm tại x=0 thì \(a=0,\, \, b=1\).

Vậy ab=0.