Question

Tìm số phức z biết |z-2|=1 và\( \frac{\overline{z}-2}{1+i} \) có một acgumen bằng \(\frac{5\pi }{4}  .\)

A. 1-i. 

B. 1+2i. 

C. 2+i. 

D. -1+i.

Answer 1

Chọn C

Giả sử \(z=a+bi{\rm \; }\left(a,b\in R\right)\). Ta có
\((1) \left|z-2\right|=1 \Leftrightarrow \left|a+bi-2\right|=1\Leftrightarrow \sqrt{\left(a-2\right)^{2} +b^{2} } =1 \)

\(\Leftrightarrow \left(a-2\right)^{2} +b^{2} =1 \)
\(\frac{\overline{z}-2}{1+i} =\frac{a-bi-2}{1+i} =\frac{(a-bi-2)(1-i)}{(1+i)(1-i)} =\frac{a-b-2\, }{2} +\frac{-a-b+2\, }{2} i\)
Vì số phức \(\frac{\overline{z}-2}{1+i}\)  có một acgumen bằng \(\frac{5\pi }{4} \) nên
\(\cos \frac{5\pi }{4} =\frac{\frac{a-b-2\, }{2} }{\sqrt{\left(\frac{a-b-2\, }{2} \right)^{2} +\left(\frac{-a-b+2\, }{2} \right)^{2} } } \Leftrightarrow \frac{-\sqrt{2} }{2} =\frac{\frac{a-b-2\, }{2} }{\sqrt{\left(\frac{a-b-2\, }{2} \right)^{2} +\left(\frac{-a-b+2\, }{2} \right)^{2} } } \)
\(\Leftrightarrow b+2-a=\sqrt{2} .\sqrt{\left(\frac{a-b-2\, }{2} \right)^{2} +\left(\frac{-a-b+2\, }{2} \right)^{2} } \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-a+b+2\ge 0} \\ {\left(a-b-2\right)^{2} =\left(-a-b+2\right)^{2} } \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-a+b+2\ge 0} \\ {ab-2b=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-a+b+2\ge 0} \\ {\left[\begin{array}{l} {b=0} \\ {a=2} \end{array}\right. } \end{array}\right. .\)
TH1: b=0 thay vào (1) ta tìm được a=3 hoặc a=1

TH2: a=2 thay vào (1) ta tìm được b=1 hoặc b=-1

Kết hợp điều kiện \(-a+b+2\ge 0\) 

ta tìm được hai số phức là \(z_{1} =1, z_{2} =2+i.\)