Cho số phức z có module bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=z^2+1/z^2.

Question

Cho số phức z có module bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=z^{2} +\frac{1}{z^{2} } .\)

A. 0.

B. 1. 

C. \(\sqrt{3}. \)

D. 2.

Answer 1

Chọn D

Gọi z=a+bi trong đó \(a,b\in {\rm R}.\)

Theo giả thiết \(\left|z\right|=1\Leftrightarrow a^{2} +b^{2} =1\Rightarrow -1\le a\le 1.\)

Lại có \(\left|z\right|=1\Leftrightarrow \left|z\right|^{2} =1\Leftrightarrow z.\bar{z}=1\Leftrightarrow z=\frac{1}{\bar{z}} \).

Ta có

\(T=z^{2} +\frac{1}{z^{2} } =z^{2} +\left(\bar{z}\right)^{2}\)

\( =\left(z+\bar{z}\right)^{2} -2z.\bar{z}=\left(2a\right)^{2} -2=4a^{2} -2\le 2\)

(do \(-1\le a\le 1\))

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức là T=2.

Dấu ``='' xảy ra khi và chỉ khi \(a=\pm 1\Rightarrow z=\pm 1.\)