Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫dx/1+e2x√

Question

\(\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1+{\rm e}^{2x} } }\)

Answer 1

Đặt\( t=\sqrt{1+{\rm e}^{2x} } \Rightarrow t^{2} =1+{\rm e}^{2x} \Rightarrow t{\rm d}t={\rm e}^{2x} {\rm d}x\Rightarrow {\rm d}x=\frac{t{\rm d}t}{{\rm e}^{2x} } =\frac{t{\rm d}t}{t^{2} -1} .\)

Khi đó:\( \int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{1+{\rm e}^{2x} } }  =\int \frac{t{\rm d}t}{\left(t^{2} -1\right)t}  =\int \frac{{\rm d}t}{t^{2} -1}  =\int \frac{{\rm d}t}{\left(t-1\right)\left(t+1\right)}  \)

\(=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t-1}{t+1} \right|+C=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\sqrt{1+{\rm e}^{2x} } -1}{\sqrt{1+{\rm e}^{2x} } +1} \right|+C.\)