Cho hàm số f(x)={x^2+2x−1 khi x≤2 và x+5 khi x>2. Tính I=∫e4−1√0xx2+1.f[ln(x2+1)]dx. ​

Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} {x^{2} +2x-1\, \, khi\, \, x\le 2} \\ {x+5\, \, khi\, x>2} \end{array}\right. .\) Tính \(I=\int _{0}^{\sqrt{e^{4} -1} }\frac{x}{x^{2} +1} .f\left[\ln \left(x^{2} +1\right)\right]{\rm d}x .\)

\(A. \left(-2;3\right).\)

\(B. \left(3;-2\right).\)

\(C. \left(2;-1\right).\)

\(D. \left(-1;2\right).\)
 

Answer 1

Chọn A

  Với x<2, ta có <span class="math-tex">\(f\left(x\right)=x^{2} +2x-1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left(-\infty ;2\right).\)

 Với x>2, ta có \(f\left(x\right)=x+5 \)là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left(2;+\infty \right).\)

Ta có

\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{-} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{-} }} \left(x^{2} +2x-1\right)=7 \)

\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{+} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{+} }} \left(x+2\right)=7;  f\left(2\right)=7.\)

Do đó \({\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{+} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 2^{-} }} f\left(x\right)=f\left(2\right)\) nên hàm số liên tục tại x=2.

Khi đó hàm số đã cho liên tục trên R

Đặt \(t=\ln \left(x^{2} +1\right)\stackrel{}{\longrightarrow}{\rm d}t=\frac{2x{\rm d}x}{x^{2} +1} \Rightarrow \frac{x{\rm d}x}{x^{2} +1} =\frac{{\rm d}t}{2} .\)

Đổi cận:

Với x=0 ta có t=0

Với \(x=\sqrt{e^{4} -1}  \)ta có t=4

Khi đó \(I=\frac{1}{2} \int _{0}^{4}f\left(t\right){\rm d}t =\frac{1}{2} \int _{0}^{4}f\left(x\right){\rm d}x =\frac{1}{2} \left(\int _{0}^{2}\left(x^{2} +2x-1\right)dx+\int _{2}^{4}\left(x+5\right)dx  \right)\)
\(=\frac{1}{2} \left[\left(\frac{x^{3} }{3} +x^{2} -x\right)\left|\begin{array}{l} {2} \\ {0} \end{array}\right. +\left(\frac{x^{2} }{2} +5x\right)\left|\begin{array}{l} {4} \\ {2} \end{array}\right. \right]=\frac{1}{2} \left(\frac{14}{3} +16\right)=\frac{31}{3} . \)