​Cho hàm số f(x)={x2−4x−1,x≥52x−6,x<5. Tích phân ∫ln20f(3ex+1).exdx bằng ​

Question

 

Cho hàm số\( f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} {x^{2} -4x-1\, \, \, ,\, x\ge 5} \\ {2x-6\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ,\, x<5} \end{array}\right.\) Tích phân \(\int _{0}^{\ln 2}f\left(3e^{x} +1\right).e^{x} {\rm d}x\) bằng

\(A. \frac{77}{3}  B. \frac{77}{9} \)
\(C. \frac{68}{3}  D. \frac{77}{6}  \)

Answer 1

Chọn B

Ta có \({\mathop{\lim }\limits_{x\to 5^{-} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 5^{+} }} f\left(x\right)=f\left(5\right)=4\) nên hàm số liên tục tại x=5

Vậy hàm số f(x) liên tục trên R

Đặt  \(t=3e^{x} +1\, \, \Rightarrow \, e^{x} {\rm d}x=\frac{1}{3} {\rm d}t\)

Đổi cận :  \(x=0\Rightarrow t=4 ;   x=\ln 2\Rightarrow t=7\)

Khi đó \(I=\frac{1}{3} \int _{4}^{7}f\left(t\right) {\rm d}t=\frac{1}{3} \int _{4}^{7}f\left(x\right) {\rm d}x=\frac{1}{3} \left(\int _{4}^{5}\left(2x-6\right) {\rm d}x+\int _{5}^{7}\left(x^{2} -4x-1\right) {\rm d}x\right)=\frac{77}{9} \)