Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên R. Khi đó giá trị của tích phân ∫f(x)dx là:

Question

Cho \(f\left(x\right)\) là hàm số lẻ và liên tục trên \({\rm R}\). Khi đó giá trị của tích phân \(\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx\)  là:

A. 2 .

B. 0.

C. 1.

D. -2 .

Answer 1

Chọn B

 Ta có biến đổi như sau:
\(\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx =\int _{-1}^{0}f\left(x\right)dx +\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx \)

\(=\int _{-1}^{0}f\left(x\right)d\left(x\right) +\int _{0}^{1}f\left(x\right)dx \, \, \left(1\right) \)
Do \(f\left(x\right)\) là hàm lẻ trên \({\rm R}\) nên ta có \(f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\),

khi đó \( \int _{-1}^{0}f\left(x\right)d\left(x\right) =\int _{-1}^{0}f\left(-x\right)d\left(-x\right) \).

Thay \(-x\) bởi \(x\) ta được
\(\int _{-1}^{0}f\left(x\right)d\left(x\right) =\int _{-1}^{0}f\left(-x\right)d\left(-x\right) \)

\(=\int _{1}^{0}f\left(x\right) dx=-\int _{0}^{1}f\left(x\right) dx\, \, \left(2\right)\) 

 Từ \((1) , (2)\) ta suy ra được \(\int _{-1}^{1}f\left(x\right)dx =0.\)