​Cho hàm số f(x)={ex+mkhix≥02x3+x2√khix<0 liên tục trên R.Tích phân I=∫1−1f(x)dx bằng ​

Question

Cho hàm số\( f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} {{\rm e}^{x} +m{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; khi\; }x\ge 0} \\ {2x\sqrt{3+x^{2} } {\rm \; khi\; }x<0} \end{array}\right. \) liên tục trên R.Tích phân \(I=\int _{-1}^{1}f\left(x\right) {\rm d}x \)bằng\(A. I={\rm e}+2\sqrt{3} -22. B. I={\rm e}+2\sqrt{3} +\frac{22}{3} \)
\(C. I=e-2\sqrt{3} -\frac{22}{3}  D. I={\rm e}+2\sqrt{3} -\frac{22}{3} \)
 

Answer 1

Chọn D

Ta có \({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left({\rm e}^{x} +m\right)=m+1, {\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \left(2x\sqrt{3+x^{2} } \right)=0 và f\left(0\right)=m+1\)

Vì hàm số đã cho liên tục trên R nên liên tục tại x=0

Suy ra \({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} f\left(x\right)=f\left(0\right) hay m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

Khi đó\( \int _{-1}^{1}f\left(x\right) {\rm d}x{\rm =}\int _{-1}^{0}2x\sqrt{3+x^{2} }  {\rm d}x+\int _{0}^{1}\left({\rm e}^{x} -1\right) {\rm d}x{\rm =}\int _{-1}^{0}\sqrt{3+x^{2} }  {\rm d}\left(3+x^{2} \right)+\int _{0}^{1}\left({\rm e}^{x} -1\right) {\rm d}x\)
\({\rm =}\left. \frac{2}{3} \left(3+x^{2} \right)\sqrt{3+x^{2} } \right|_{-1}^{0} +\left. \left({\rm e}^{x} -x\right)\right|_{0}^{1} ={\rm e}+2\sqrt{3} -\frac{22}{3} .\)