Cho hàm số f(x)={2x−2 khi x≤0 x2+4x−2 khix >0. Tích phân I=∫π0sin2x.f(cosx)dx bằng ​

Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l} {2x-2{\rm \; \; \; }\, \, {\rm \; \; \; \; }\, \, khi{\rm \; }x\le 0} \\ {x^{2} {\rm +4}x-2\, \, \, \, {\rm \; }khi{\rm \; }x>0} \end{array}\right. \)Tích phân \(I=\int _{0}^{\pi }\sin 2x.f\left({\rm cos}x\right){\rm d}x \) bằng

\(A. I=\frac{9}{2} \)

\(B. I=-\frac{9}{2} \)

\(C. I=-\frac{7}{6} \)

\(D. I=\frac{7}{6} \)
 

Answer 1

Chọn A

Do \({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} f\left(x\right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} f\left(x\right)=f\left(0\right)=-2 \)nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x=0

Đặt \(t=\cos x$$\Rightarrow {\rm d}t=-\sin x{\rm d}x\)

Đổi cận: \(x=0\Rightarrow t=1; x=\pi \Rightarrow t=-1\)

Ta có:
\(\int _{0}^{\pi }\sin 2x.f\left({\rm cos}x\right){\rm d}x =\int _{0}^{\pi }2\sin x.{\rm cos}x.f\left({\rm cos}x\right){\rm d}x=-\int _{1}^{-1}2t.f\left(t\right){\rm d}t  \)

\(=2\int _{-1}^{1}t.f\left(t\right){\rm d}t =2\int _{-1}^{0}x.f\left(x\right){\rm d}x +2\int _{0}^{1}x.f\left(x\right){\rm d}x=2\int _{0}^{1}x\left(x^{2} +4x-2\right){\rm d}x +2\int _{-1}^{0}x.\left(2x-2\right){\rm d}x  \)
\(=2\left(\frac{x^{4} }{4} +\frac{4x^{3} }{3} -x^{2} \right)\left|\begin{array}{l} {1} \\ {0} \end{array}\right. +4.\left. \left(\frac{x^{3} }{3} -\frac{x^{2} }{2} \right)\right|_{-1}^{0} =\frac{7}{6} +\frac{10}{3} =\frac{9}{2} .\)