Đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} {x=2+2t_{1} } \\ {y=3+3t_{1} } \\ {z=-4-5t_{1} } \end{array}\right.\) đi qua điểm \(M_{1} \left(2;3;-4\right)\)và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1} }=\left(2;3;-5\right).\)
Đường thẳng \(k:\left\{\begin{array}{l} {x=-1+3t_{2} } \\ {y=4-2t_{2} } \\ {z=4-t_{2} } \end{array}\right.\) đi qua điểm\( M_{2} \left(-1;4;4\right)\)và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2} }=\left(3;-2;-1\right).\)
Gọi \(\Delta\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳngd,k và \(\Delta\) cắt d,k lần lượt tại hai điểm M,N:
\(M\left(2+2t_{1} ;3+3t_{1} ;-4-5t_{1} \right)\in d;\, N\left(-1+3t_{2} ;4-2t_{2} ;4-t_{2} \right)\in k \)
\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(-2t_{1} +3t_{2} -3;-3t_{1} -2t_{2} +1;5t_{1} -t_{2} +8\right). \)
Ta có
\(\left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{u_{1} }\bot \overrightarrow{MN}} \\ {\overrightarrow{u_{2} }\bot \overrightarrow{MN}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{u_{1} }.\overrightarrow{MN}=0} \\ {\overrightarrow{u_{2} }.\overrightarrow{MN}=0} \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {2\left(-2t_{1} +3t_{2} -3\right)+3\left(-3t_{1} -2t_{2} +1\right)-5\left(5t_{1} -t_{2} +8\right)=0} \\ {3\left(-2t_{1} +3t_{2} -3\right)-2\left(-3t_{1} -2t_{2} +1\right)-\left(5t_{1} -t_{2} +8\right)=0} \end{array}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-38t_{1} +5t_{2} =43} \\ {-5t_{1} +14t_{2} =19} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {t_{1} =-1} \\ {t_{2} =1} \end{array}\right. . \)
Suy ra \(M\left(0;0;1\right), \overrightarrow{MN}=\left(2;2;2\right).\)
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm\( M\left(0;0;1\right)\)và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\frac{1}{2} \overrightarrow{MN}=\left(1;1;1\right) \)nên có phương trình chính tắc là \(\Delta :\frac{x}{1} =\frac{y}{1} =\frac{z-1}{1} .\)
