Viết PTCT (hoặc PTTS) đg vuông góc chung của: d:x=2+t;y=1−t;z=2t và k:x=2−2t';y=3;z=t′.

Question

Viết phương trình chính tắc( hoặc phương trình tham số) đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau:  
Đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} {x=2+t} \\ {y=1-t} \\ {z=\, \, \, \, \, \, 2t} \end{array}\right.\)  và đường thẳng \(k:\left\{\begin{array}{l} {x=2-2t} \\ {y=3} \\ {z=\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, t'} \end{array}\right. ^{{'} } .\)
 

Answer 1

Đường thẳng \(d:{\kern 1pt} \, \left\{\begin{array}{l} {x=2+t} \\ {y=1-t} \\ {z=2t} \end{array}\right. \) và đường thẳng \(k:{\kern 1pt} \, \left\{\begin{array}{l} {x=2-2t'} \\ {y=3} \\ {z=t'} \end{array}\right.  . \)

Gọi \(\overrightarrow{u_{d} }=\left(1\_ ;\, -1\, ;\, 2\right) \)là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Gọi \(\overrightarrow{u_{k} }=\left(-2;\, 0\, ;\, 1\right)\) là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng k.

Gọi \(\Delta\)  là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d và k.

Gọi \(M=\Delta \cap d, N=\Delta \cap k \Rightarrow M\left(2+t\, ;\, 1-t\, ;\, 2t\right),\, N\left(2-2t'\, ;\, 3\, ;\, t'\right). \overrightarrow{MN}=\left(-2t'-t\, ;\, 2+t\, ;\, t'-2t\right). \)
Ta có 
\(\left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{MN}\bot \overrightarrow{u_{d} }} \\ {\overrightarrow{MN}\bot \overrightarrow{u_{k} }} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{MN}\, .\, \overrightarrow{u_{d} }=0} \\ {\overrightarrow{MN}\, .\, \overrightarrow{u_{k} }=0} \end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {1\left(-2t'-t\right)\, -\left(2+t\right)\, +2\left(t'-2t\right)=0} \\ {-2\left(-2t'-t\right)\, +t'-2t=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {-6t=2} \\ {5t'=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {t=-\frac{1}{3} } \\ {t'=0} \end{array}\right. . \)
Từ đó suy ra \(N\left(2\, ;\, 3\, ;\_ \, 0\right),\, \overrightarrow{MN}=\left(\frac{1}{3} \, ;\, \frac{5}{3} \, ;\, \frac{2}{3} \right).\)

Chọn \(\overrightarrow{u_{\Delta } }=\left(1\, ;\, 5\, ;\, 2\right)\) là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta .\)

Đường thẳng Δ  đi qua \(N\left(2\, ;\, 3\, ;\_ \, 0\right)\) và nhận  \(\overrightarrow{u_{\Delta } }=\left(1\, ;\, 5\, ;\, 2\right)\) làm vectơ chỉ phương có  phương trình tham số là \( \Delta :{\kern 1pt} \, \left\{\begin{array}{l} {x=2+t} \\ {y=3+5t} \\ {z=2t} \end{array}\right. \, \left(t\in {\rm R}\right). \)