(S):x^2+y^2+z^2−10x+2y+26z−113=0,d:x+5/2=y−1/−3=z+13/2;k:x=−7+3t;y=−1−2t;z=8. Viết (Q) tx (S),// d và k

Question

Cho mặt cầu \((S):\, \, x^{2} +y^{2} +z^{2} -10x+2y+26z-113=0,\) đường thẳng \(d:\, \frac{x+5}{2} =\frac{y-1}{-3} =\frac{z+13}{2} \)và đường thẳng \(k:\left\{\begin{array}{c} {x=-7+3t} \\ {y=-1-2t} \\ {z=8} \end{array}\right.  .\)
Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S)và song song với 2 đường thẳng d và k.
 

Answer 1

Ta có: Mặt cầu (S) có tâm \(I(5;-1;-13),\, \, R=2\sqrt{77} .\)

Ta có  \( \left\{\begin{array}{c} {(Q)//d} \\ {(Q)//k} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {\overrightarrow{n_{Q} }\bot \overrightarrow{u_{d} }(2;-3;2)} \\ {\overrightarrow{n_{Q} }\bot \overrightarrow{u_{k} }(3;-2;0)} \end{array}\right.  \)

 Chọn \(\overrightarrow{n_{Q} }=\left[\overrightarrow{u_{d} },\overrightarrow{u_{k} }\right]=(4;6;5) .\)

\( \Rightarrow  \)phương trình mp(Q)có dạng: 4x+6y+5z+D=0 .

 Mặt khác: mp(Q) tiếp xúc mặt cầu (S) nên:
\(d(I;(P))=R \Leftrightarrow \frac{\left|4.5+6.(-1)+5.(-13)+D\right|}{\sqrt{4^{2} +6^{2} +5^{2} } } =2\sqrt{77}   \Leftrightarrow \left|D-51\right|=154 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {D=205} \\ {D=-103} \end{array}\right. . \)

 Vậy phương trình mp(Q)là: 4x+6y+5z+205=0 hoặc 4x+6y+5z-103=0.