Viết ptmp (Q) qua M(0;3;-3) biết (Q) vuông (R):3y−2z=0 và (Q) tx (S):(x+1)2+(y−1)2+(z+2)2=1.

Question

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm \(M\left(0; 3; -3\right)\) biết mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng \(\left(R\right): 3y-2z=0 \)và mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu \(\left(S\right):\left(x+1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} +\left(z+2\right)^{2} =1.\)
 

Answer 1

Mặt cầu \(\left(S\right):\left(x+1\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} +\left(z+2\right)^{2} =1 có tâm I\left(-1; 1; -2\right)\) và bán kính R=1.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm \(M\left(0; 3; -3\right) \)nên gọi phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:
\(Ax+B\left(y-3\right)+C\left(z+3\right)=0, A^{2} +B^{2} +C^{2} \ne 0. \)
\(mp\left(Q\right)\bot {\rm mp}\left(R\right): 3y-2z=0 nên 3B-2C=0\Rightarrow C=\frac{3B}{2} .\)
\(\Rightarrow \left(Q\right):Ax+B\left(y-3\right)+\frac{3B}{2} \left(z+3\right)=0. \)
Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu \(\left(S\right) \Rightarrow d\left(I, (Q)\right)=1\Rightarrow \frac{\left|-A-2B+\frac{3B}{2} \right|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +\frac{9B^{2} }{4} } } =1\)
\(\Leftrightarrow \left|-A-2B+\frac{3B}{2} \right|=\sqrt{A^{2} +B^{2} +\frac{9B^{2} }{4} }  \)
\(\Leftrightarrow \left|-A-\frac{B}{2} \right|=\sqrt{A^{2} +\frac{13B^{2} }{4} } \Leftrightarrow \left(-A-\frac{B}{2} \right)^{2} =A^{2} +\frac{13B^{2} }{4}  \)
\(\Leftrightarrow AB-3B^{2} =0\Leftrightarrow B=0 hoặc A=3B.\)

TH 1: B=0. Ta có \(C=\frac{3B}{2} =0 , mà A^{2} +B^{2} +C^{2} \ne 0\Rightarrow A\ne 0.\)

Phương trình mặt phẳng (Q) cần tìm là:\(A\left(x-0\right)=0\Leftrightarrow x=0.\)

TH 2:  \(A=3B. Ta có C=\frac{3B}{2}  , mà A^{2} +B^{2} +C^{2} \ne 0\Rightarrow B\ne 0.\)

Phương trình mặt phẳng (Q) cần tìm là: \(3Bx+B\left(y-3\right)+\frac{3B}{2} \left(z+3\right)=0\Rightarrow 6x+2y+3z+3=0.\)

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là\( (Q):{\rm  }x=0,{\rm  }(Q):{\rm  }6x+2y+3z+3=0.\)