Để giải quyết các câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học và đường tròn.
a) Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O;R):
Vì BD vuông góc với AC tại H và B là điểm tiếp xúc của đường tròn (O;R) với BC, nên BD là phân giác của góc ABC. Do đó, góc NBD = góc ABD = 90 độ - góc ABC = góc BAC = góc BAN. Vì vậy, ND là tiếp tuyến của (O;R) tại N.
b) Chứng minh BC là phân giác góc NBD:
Vì BD là phân giác của góc ABC và góc NBD = góc BAC, nên góc CBD = góc BDN. Do đó, BC là phân giác của góc NBD.
c) Chứng minh ID = IM:
Vì BE là đường kính của đường tròn (O), nên góc BDE = 90 độ. Do đó, tam giác BDE là tam giác vuông tại D. Vì vậy, theo định lý Pythagoras, ta có:
BD^2 + DE^2 = BE^2
Vì BD = BI và BE = BI + IE, ta có:
BI^2 + DE^2 = (BI + IE)^2
Sắp xếp lại, ta có:
DE^2 - IE^2 = BI^2 - BI*IE
Vì DE = DI và IE = IM, ta có:
DI^2 - IM^2 = BI^2 - BI*IM
Vì DI = IM, ta có:
BI^2 - BI*IM = 0
Sắp xếp lại, ta có:
BI = IM
Vì vậy, ID = IM. Đây là một phương pháp chứng minh thông thường trong hình học, sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường tròn.\
