Question

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm D bất kì trên cạnh AB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA. Gọi P và Q là các giao điểm của MN với đường tròn (O) (điểm P thuộc cung nhỏ BC và điểm Q thuộc cung nhỏ CA). Gọi I là giao điểm khác B của BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP. Gọi K là giao điểm của DI với AC. 
a) Chứng minh rằng tứ giác CIPK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng PK.QC=QB.PD

Answer 1

 

 

Giải thích các bước giải:

a) Xét 2 ΔACP và ΔDIP có :

∠CAP = ∠CBP ( cùng chắn cung CP của (O)) = ∠IDP ( cùng chắn cung IP của (BDP)) (1)

∠CPA = ∠CBA ( cùng chắn cung AC của (O)) = ∠IPD ( cùng chắn cung ID của (BDP)) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔACP ~ ΔDIP (g.g) ⇒ ∠ACP = ∠DIP ⇒ ∠KCP = ∠KIP ⇒ CIPK nt

b) Từ câu a) ⇒ ∠ICP = ∠IPK (3)

Từ (1) và (3) ⇒ ΔDPK ~ ΔBPC (g.g) ⇒ PD/PK = PB/PC (4)

Mặt khác dễ thấy:

ΔBPM ~ ΔQCM (g.g) ⇒ PB/PM = QC/CM (*)

ΔBQM ~ ΔPCM (g.g) ⇒ PM/PC = BM/QB = CM/QP (**)

Lấy (*)x(**) vế với vế : PB/PC = QC/QB (5)

Từ (4) và (5) ⇒ QC/QB = PD/PK ⇔  PK.QC = QB.PD