Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 90độ

Question

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao SH của hình chóp.

Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 90độ

Answer 1

Gọi a là cạnh của hình chóp, M là trung điểm của AB.

⇒AM=BM=12AB=12a

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác CMA vuông tại M:

            CM2+AM2=AC2⇔CM2=AC2−AM2=a2−(12a)2=34a2⇒CM=√32a

⇒CH=23CM=23.√32a=√33a (Vì CM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác SHC vuông tại H:

            SH2+CH2=SC2⇔SH2=SC2−CH2=a2−(√33a)2=23a2⇒SH=√2√3a=√6a3.

Vì O là trung điểm của SH nên OH=12SH=12√63a=a√66.

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OHC vuông tại H:
OC2=CH2+OH2=a23+a26=a22

Tương tự: OB2=OA2=a22

Xét tam giác BOC ta có: OB2+OC2=a22+a22=a2=BC2

⇒ˆBOC=900 (Theo định lý đảo của định lý Pitago)

Tương tự ta chứng minh được: ˆAOB=ˆCOA=900