Question

Cho a;b;c là 3 cạnh của tam giác

Chứng minh: ab/a+b-c + bc/-a+b+c + ac/a-b+c >= a+b+c

Answer 1

Do a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b-c>0, b+c-a>0 , c+a-b > 0 
Đặt x = b+c-a > 0 
y = a+c-b > 0 
z = a+b-c > 0 

=> a = (y+z)/2 
b = (x+z)/2 
c = (x+y)/2 

A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b)+c/(a+b-c) 
= (y+z)/(2x) + (x+z)/(2y) + (x+y)/(2z) 
= 1/2 . (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y) 

Áp dụng bdt Cauchy cho 2 số: 
x/y + y/x >= 2 
x/z + z/x >= 2 
y/z + z/y >= 2 
Cộng 3 bdt trên suy ra 
(x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y) >= 6 
=> A >= 1/2.6=3 (dpcm)