Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫dx/ex−ex2

Question

\(\int \frac{{\rm d}x}{{\rm e}^{x} -{\rm e}^{\frac{x}{2} } } \)

Answer 1

Ta có: \(\frac{1}{{\rm e}^{x} -{\rm e}^{\frac{x}{2} } } =\frac{{\rm e}^{\frac{x}{2} } -\left({\rm e}^{\frac{x}{2} } -1\right)}{{\rm e}^{\frac{x}{2} } \left({\rm e}^{\frac{x}{2} } -1\right)} =\frac{{\rm e}^{\frac{x}{2} } -\left({\rm e}^{\frac{x}{2} } -1\right)}{{\rm e}^{\frac{x}{2} } -1} -\frac{1}{{\rm e}^{\frac{x}{2} } } =\frac{{\rm e}^{\frac{x}{2} } }{{\rm e}^{\frac{x}{2} } -1} -1-{\rm e}^{-\frac{x}{2} } .\)

Khi đó: \(\int \frac{{\rm d}x}{{\rm e}^{x} -{\rm e}^{\frac{x}{2} } }  =\int \left(\frac{{\rm e}^{\frac{x}{2} } }{{\rm e}^{\frac{x}{2} } -1} -1-{\rm e}^{-\frac{x}{2} } \right) {\rm d}x.\)
\(=\int \frac{{\rm 2d}\left({\rm e}^{\frac{x}{2} } -1\right)}{{\rm e}^{\frac{x}{2} } -1} - \int {\rm d}x +2\int {\rm e}^{-\frac{x}{2} }  {\rm d}\left(-\frac{x}{2} \right)=2\ln \left|{\rm e}^{\frac{x}{2} } -1\right|-x+2{\rm e}^{-\frac{x}{2} } +C.\)