Ta có: \(\frac{{\rm e}^{2x} }{\sqrt{{\rm 1+e}^{x} } } =\frac{\left({\rm e}^{2x} +{\rm e}^{x} \right)-{\rm e}^{x} }{\sqrt{{\rm 1+e}^{x} } } ={\rm e}^{x} \sqrt{{\rm 1+e}^{x} } -\frac{{\rm e}^{x} }{\sqrt{{\rm 1+e}^{x} } } .\)
Khi đó: \(\int \frac{{\rm e}^{2x} }{\sqrt{{\rm 1+e}^{x} } } {\rm d}x=\int {\rm e}^{x} \sqrt{{\rm 1+e}^{x} } {\rm d}x-\int \frac{{\rm e}^{x} }{\sqrt{{\rm 1+e}^{x} } } {\rm d}x \).
\(=\int \left({\rm 1+e}^{x} \right)^{\frac{1}{2} } {\rm d}\left(1+{\rm e}^{x} \right)-\int \left({\rm 1+e}^{x} \right)^{-\frac{1}{2} } {\rm d}\left(1+{\rm e}^{x} \right) .\)
\(=\frac{2}{3} \sqrt{\left(1+{\rm e}^{x} \right)^{3} } -2\sqrt{{\rm 1+e}^{x} } +C.\)