Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫ex/ex+e−xdx

Question

\(\int \frac{{\rm e}^{x} }{{\rm e}^{x} +{\rm e}^{-x} } {\rm d}x \)

Answer 1

Ta có:  \(\int \frac{{\rm e}^{x} }{{\rm e}^{x} +{\rm e}^{-x} } {\rm d}x =\int \frac{{\rm e}^{2x} }{{\rm e}^{2x} +1} {\rm d}x .\)

Đặt \({\rm e}^{2x} +1=t\Rightarrow {\rm d}t=2e^{2x} {\rm d}x.\)

Khi đó: \(\int \frac{{\rm e}^{x} }{{\rm e}^{x} +{\rm e}^{-x} } {\rm d}x =\int \frac{{\rm e}^{2x} }{{\rm e}^{2x} +1} {\rm d}x =\int \frac{{\rm d}t}{2t} =\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} {\rm d}t  .\)
\(=\frac{1}{2} \ln \left|t\right|+C=\frac{1}{2} \ln \left|{\rm e}^{2x} +1\right|+C=\frac{1}{2} \ln \left({\rm e}^{2x} +1\right)+C.\)