Question

Có 15 đại biểu ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có vị nào ngồi đúng chỗ của mình như ban tổ chức đã sắp xếp (các vị trí được xếp cách đều nhau). Chứng minh rằng có thể xoay bàn để có ít nhất hai đại biểu ngồi đúng chỗ của mình. `
Hãy chỉ ra một cách xếp sao cho có đúng một đại biểu ngồi đúng chỗ và mọi cách xoay bàn cũng chỉ có không quá một đại biểu ngồi đúng chỗ.

Answer 1

Với mỗi đại biểu \(A\), kí hiệu \(d(A)\) là khoảng cách từ \(A\) đến vị trí đúng của \(A\) (khoảng cách trên đường tròn, tính theo chiều kim đồng hồ). Vì có \(15\) đại biểu và chỉ có \(14\) giá trị của khoảng cách (do \(1 < d(A) < 14\)) nên tồn tại hai đại biểu \(A\) và \(B\) mà \(d(A) = d(B)\). Khi quay bàn để \(A\)đến vị trí đúng của \(A\) thì \(B\) cũng đến vị trí đúng của \(B\).

Bây giờ ta chỉ ra một cách xếp sao cho có đúng một đại biểu ngồi đúng chỗ và mọi cách xoay bàn cũng chỉ có không quá một đại biểu ngồi đúng chỗ:

Giả sử 15 đại biểu là \(A_1,A_2,...,A_{15}\) và \(A_i\) được xếp ngồi ở vị trí thứ \(i\). Khi đó, cách xếp sao cho \(A_i\) ngồi ở vị trí mới \(T(A_i)=2i-1\) thoả mãn yêu cầu bài toán.