ax=by=cz=√abc. Tìm giá trị lớn nhất của P=16x+16y−z2.

Question

Cho các số thực a, b, c>1 và các số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn \(a^{x} =b^{y} =c^{z} =\sqrt{abc} \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x} +\frac{16}{y} -z^{2} .  \)

A. 24. B. 20.

\(C. 20-\frac{3}{\sqrt[{3}]{4} }  . D. 24-\frac{3}{\sqrt[{3}]{4} }  .\)
 

Answer 1

Chọn B

Ta có \(\left(\sqrt{abc} \right)^{P} =\left(\sqrt{abc} \right)^{\frac{16}{x} +\frac{16}{y} -z^{2} } =\left(\sqrt{abc} \right)^{\frac{16}{x} } .\left(\sqrt{abc} \right)^{\frac{16}{y} } .\left(\sqrt{abc} \right)^{-z^{2} }  \)
\(=\left(a^{x} \right)^{\frac{16}{x} } .\left(b^{y} \right)^{\frac{16}{y} } .\left(c^{z} \right)^{-z^{2} } =a^{16} .b^{16} .c^{-z^{3} } .\)
\(\Leftrightarrow \left(\sqrt{abc} \right)^{P} =\left(a.b.c\right)^{16} .c^{-z^{3} -16} =\left(\sqrt{abc} \right)^{32} .c^{-z^{3} -16} =\left(c^{z} \right)^{32} .c^{-z^{3} -16} =c^{-z^{3} +32z-16} \)
\(\Leftrightarrow \left(c^{z} \right)^{P} =c^{-z^{3} +32z-16}  .\)
Với c>1 suy ra \(P=\frac{-z^{3} +32z-16}{z} .\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của\( P=\frac{-z^{3} +32z-16}{z} \) với z>0.

Ta có \(P'=\frac{-2z^{3} +16}{z^{2} } ,\, P'=0\Leftrightarrow -2z^{2} +16=0\Leftrightarrow z=2.\)

Bảng biến thiên    

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của P là 20 khi z=2.