ax=by=cz=√abc.​ Tìm giá trị lớn nhất của P=16x+16y−z2. ​

Question

Cho các số thực a,b, c>1 và các số dương thực thay đổi x, y, z thỏa mãn: \(a^{x} =b^{y} =c^{z} =\sqrt{abc} .\) Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{16}{x} +\frac{16}{y} -z^{2} .\)    

A. 24. B. 20.

\(C.20-\frac{3}{\sqrt[{3}]{4} }  . D.24-\frac{3}{\sqrt[{3}]{4} } .\)
 

Answer 1

Chọn B

  Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {x=\frac{1}{2} \log _{a} abc} \\ {y=\frac{1}{2} \log _{b} abc} \\ {z=\frac{1}{2} \log _{c} abc} \end{array}\right.   \)
\(\Rightarrow P=\frac{16}{x} +\frac{16}{y} -z^{2} =\frac{32}{\log _{a} abc} +\frac{32}{\log _{b} abc} -\frac{1}{4} \left(\log _{c} abc\right)^{2} \)
\(\Leftrightarrow P=32\log _{abc} ab-\frac{1}{4} \left(\log _{c} abc\right)^{2} =\frac{32}{\log _{ab} c+1} -\frac{1}{4} \left(\log _{c} ab+1\right)^{2} \)

  Đặt \(t=\log _{c} ab+1, t>1 ( vì a,\; b,\; c>1\Rightarrow \log _{c} ab>0).\)
\(P=\frac{32}{\frac{1}{t-1} +1} -\frac{1}{4} t^{2} =\frac{32\left(t-1\right)}{t} -\frac{1}{4} t^{2} \)
\(P'=\frac{32}{t^{2} } -\frac{t}{2} =0\Leftrightarrow t=4\)

  Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của P là 20.

 Dấu ``='': \(\left\{\begin{array}{l} {\log _{c} ab=3} \\ {c^{z} =\sqrt{abc} } \end{array}\right.  \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {ab=c^{3} } \\ {c^{2z-1} =ab} \end{array}\right. \Rightarrow c^{2z-1} =c^{3} \Leftrightarrow z=2 và \frac{16}{x} +\frac{16}{y} -z^{2} =20\Leftrightarrow \frac{1}{x} +\frac{1}{y} =\frac{3}{2}  \)