Δ1:x−7/1=y−3/2=z−9/−1vàΔ2:x−3/−7=y−1/2=z−1/3. Tìm A thuộc Δ1 và B thuộc Δ2 sao cho AB là đoạn vg chung

Question

Cho hai đường thẳng \(\Delta _{1} : \frac{x-7}{1} =\frac{y-3}{2} =\frac{z-9}{-1}  và \Delta _{2} : \frac{x-3}{-7} =\frac{y-1}{2} =\frac{z-1}{3} \)Tìm điểm A thuộc đường thẳng\( \Delta _{1}\) và điểm B thuộc \(\Delta _{2}\)  sao cho AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(\Delta _{1}  và \Delta _{2} .\)
 

Answer 1

  Gọi \(A\left(7+t_{1} \, \, ;\, \, \, 3+2t_{1} \, \, ;\, \, \, 9-t_{1} \right)\in \Delta _{1}  và B\left(3-7t_{2} \, \, ;\, \, 1+2t_{2} \, \, ;\, \, 1+3t_{2} \right)\in \Delta _{2} .\)

  Ta có\( \overrightarrow{AB}=\left(-7t_{2} -t_{1} -4\, \, ;\, \, 2t_{2} -2t_{1} -2\, \, ;\, \, 3t_{2} +t_{1} -8\right).\)

\(  \Delta _{1}  có vtcp \overrightarrow{u_{1} }=\left(1\, \, ;\, \, 2\, \, ;\, \, -1\right).\)

\(  \Delta _{2}  có vtcp \overrightarrow{u_{2} }=\left(-7\, \, ;\, \, 2\, \, ;\, \, 3\right).\)

  Vì AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(\Delta _{1}  và \Delta _{2} .\)

  Nên \(\left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{u_{1} }} \\ {\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{u_{2} }} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{1} }=0} \\ {\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{2} }=0} \end{array}\right.  \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {1.\left(-7t_{2} -t_{1} -4\right)+2.\left(2t_{2} -2t_{1} -2\right)-1.\left(3t_{2} +t_{1} -8\right)=0} \\ {-7.\left(-7t_{2} -t_{1} -4\right)+2.\left(2t_{2} -2t_{1} -2\right)+3.\left(3t_{2} +t_{1} -8\right)=0} \end{array}\right.  \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-6t_{1} -6t_{2} =0} \\ {6t_{1} +62t_{2} =0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {t_{1} =0} \\ {t_{2} =0} \end{array}\right.  . \)

  Vậy \(A\left(7\, ;\, \, 3\, \, ;\, \, 9\right) và B\left(3\, \, ;\, \, 1\, \, ;\, \, 1\right).\)